Bloque VII-IX-X: 2015

Contenido

BLOQUE VIII

Aplicas las leyes de senos y cosenos

BLOQUE IX

Aplicas la estadística elemental
Identificarás el significado de población y muestra, además de reconocer y aplicar los conceptos de medidas de tendencia central y de dispersión.
BLOQUE X

Empleas los conceptos elementales de probabilidad
Te permitirá distinguir entre eventos deterministas y aleatorios, utilizando las leyes aditiva y multiplicativa de las probabilidades.

Ley de Senos y Ley de Cosenos

Ley de los SENOS

"Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos"

Ley de los COSENOS

"El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el duplo del producto de dichos lados, por el coseno de ángulo que formas"

Problemas

ley de los senos

ley de los cosenos

Medidas de tendencia central

Las medidas de centralización nos indican en torno a que valor se distribuyen los datos.
Estas son:
-MODA
La moda es el valor que tiene mayor frecuencia absoluta.
Se puede hallar para variables cualitativas y cuantitativas y se representa por Mo.

Si en un grupo hay 2 o varias puntuaciones con la misma frecuencia y es la máxima, la distribución es bimodal o multimodal, es decir, tiene varias modas.
Cuando todas las puntuaciones de un grupo tienen la misma frecuencia no hay moda.
Si hay dos puntuaciones adyacentes tienen la frecuencia máxima, la moda es el promedio de las puntuaciones adyacentes.

-MEDIANA
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando estos están ordenados de menor a mayor; se representa por Me.
Se puede hallar solo para variables cuantitativas.
Para calcularla:
1.- Ordenamos los datos de menor a mayor.
2.- Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2,3,4,4,5,5,5,6,6 Me=5

3.- Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7,8,9,10,11,12 Me=9.5

-MEDIA ARITMÉTICA

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos os datos y dividir entre el numero total de datos.

SÍMBOLO QUE SE UTILIZA PARA LA MEDIA ARITMÉTICA

-°Propiedades:

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecta a la media de la misma igual a cero.

2. La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número coincide con la media aritmética.

3. Si a todos los valores de la variable se le suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media queda multiplicada por dicho número.

Solo se halla para variables cuantitativas.

No se calcula con intervalo de amplitud indeterminada.

PROBLEMAS

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Calcular la media, la mediana y la moda de la siguiente serie de números: 5, 3, 6, 5, 4, 5, 2, 8, 6, 5, 4, 8, 3, 4, 5, 4, 8, 2, 5, 4.

x_i	f_i	F_i	x_i · f_i
2	2	2	4
3	2	4	6
4	5	9	20
5	6	15	30
6	2	17	12
8	3	20	24
	20		96

Moda

Mo = 5

Mediana

20/2 = 10 Me = 5

Media

Un pediatra obtuvo la siguiente tabla sobre los meses de edad de 50 niños de su consulta en el momento de andar por primera vez:

Meses	Niños
9	1
10	4
11	9
12	16
13	11
14	8
15	1

x_i	f_i	N_i	x_i · f_i	x²_i · f_i
9	1	1	9	81
10	4	5	40	400
11	9	14	99	1089
12	16	30	192	2304
13	11	41	143	1859
14	8	49	112	1568
15	1	50	15	225
	50		610	7526

Moda

Mo = 12

Mediana

50/2 = 25 Me = 12

Media aritmética

Medidas de dispersión

En el caso de las variables con valores que pueden definirse en términos de alguna escala de medida de igual intervalo, puede usarse un tipo de indicador que permite apreciar el grado de dispersión o variabilidad existente en el grupo de variantes en estudio.

Las medidas de dispersión son:

DESVIACIÓN ESTÁNDAR
Llamada también desviación típica; informa sobre la medida de distancias que tienen los datos respecto de su media aritmética expresada en las mismas unidades que la variable.

VARIANZA
La varianza es el valor de la desviación estándar al cuadrado; su utilidad radica en que su valor es requerido para todos los procedimientos estadísticos.

ERROR TÍPICO
Llamado también error estándar de la media. Se refiere a una medida de variabilidad de la media, sirve para calcular cuan dispersa estaría la media de realizar un nuevo calculo.

PROBLEMAS

1. Hallar la desviación media, la varianza y la desviación típica de la series de números siguientes:

2, 3, 6, 8, 11.

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

2, 3, 6, 8, 11.

Media

Varianza

12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5.

Media

Varianza

Pregunta 3

En un examen de matemáticas los 30 alumnos de una clase han obtenido las puntuaciones recogidas en la siguiente tabla:

Halla la varianza y la desviación típica.

Solución:

Varianza = 4,23 Desviación típica = 2,06.

Probabilidad

Probabilidad
La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1, que indica las posibilidades que tiene de verificarse cuando se realiza un experimento aleatorio.
Experimentos
Deterministas: de los que podemos predecir el resultado antes de que se realice.
Aleatorios: aquellos en los que no se puede redecir el resultado, ya que depende del azar.

Regla general de la adición de probabilidades para eventos no mutuamente excluyentes

Si A y B son dos eventos no mutuamente excluyentes (eventos intersecantes), es decir, de modo que ocurra A o bien B o ambos a la vez, entonces se aplica la siguiente regla para calcular dicha probabilidad:

El espacio muestral (S) corresponde al conjunto universo en la teoría de conjuntos

Regla de la adición

a.- Regla de la adición para eventos mutuamente excluyentes.

A menudo, estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra suceda; es decir nos interesa la probabilidad de la unión de dos eventos. Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes, podemos expresar esta probabilidad haciendo uso de la regla de adición para eventos mutuamente excluyentes:

P (A U B) = P (A) + P (B)

Existe un caso especial, para cualquier evento A, tenemos que éste sucede o no sucede. De modo que los eventos A y A' son mutuamente excluyentes y exhaustivos:

P(A) + P(A') = 1

P(A') = 1 - P(A)

b.- Regla de adición para eventos que no son mutuamente excluyentes.

Si dos eventos no son mutuamente excluyentes, es posible que ambos se presenten al mismo tiempo. En tales casos, debemos modificar la regla de la adición para evitar el conteo doble:

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(AnB)

El siguiente diagrama de flujo[1], resume las reglas de adición para el cálculo de la probabilidad de dos eventos dados A y B.

Figura 3.7

Diagrama de flujo de la regla de adición

EJEMPLO 3.14:

Las siguientes son las características de las orquídeas de un vivero:

		Tamaño de pétalo
		Grande	Pequeño
Color	Lila	40	4
Color	Blanca	2	3

Sea el evento A: la orquídea es de pétalo grande. Entonces:

P(A)= 42/49

Y sea el evento B: la orquídea es de color lila. Entonces:

P(B)= 44/49

De otro lado, P(AnB) es la probabilidad de que la orquídea sea de pétalo grande y al mismo tiempo de color lila. Entonces:

P(AnB)= 40/49

El evento AUB es aquel donde la orquídea es de tamaño de pétalo grande o de color lila o ambos. La tabla indica rápidamente, al igual que su diagrama de Venn, el valor de .P(AUB) = 46/49

La otra manera de calcularlo es:

P(AUB)= P(A) + P(B) - P(AnB)

P(AUB)= 42/49 + 44/49 - 40/49

P(AUB) = 46/49

Sea el evento E donde la orquídea no es de pétalo grande y tampoco es de color lila. La tabla también indica el valor de P(E) = 3/49

Otra alternativa para el cálculo de P(E) , es hacer uso adecuado de operaciones entre conjuntos. Se tiene que:

E=(AUB)^t

Por tanto,

P(E)= 1- P(AUB)= 1- 46/49 = 3/49

Regla de Multiplicación

De la definición de probabilidad condicional se tienen los siguientes resultados al despejar $P(A\cap B):$

Las relaciones $\left( 1\right)$ y $\left( 2\right)$ son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos

con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea

eventos tales que

. Entonces

**Se relacionan con la determinación de la ocurrencia de conjunta de dos o más eventos. Es decir la intersección entre los conjuntos de los posibles valores de A y los valores de B, esto quiere decir que la probabilidad de que ocurran conjuntamente los eventos A y B es:

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes
P(A y B) = P(A B) = P(A)P(BA) si A y B son dependientes
P(A y B) = P(A B) = P(B)P(AB) si A y B son dependientes

Problemas

Regla de la adición

1) En una urna existe 10 bolas numeradas del 1 al 10. ¿Qué probabilidad existe de sacar en una sola extracción una bola enumerada con un número par o con un número primo?

Solución:

Regla de la multiplicación

1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la probabilidad de acertar a todas?

La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en las cuatro es:

Pe a es igual a uno partido por seiscientos veniticinco

2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?

Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos favorables: HHM – HMH – MHH
La probabilidad de cada uno de estos eventos es:

domingo, 24 de mayo de 2015

Moda

Mediana

Media

Moda

Mediana

Media aritmética

Media

Varianza

Media

Varianza

Regla de Multiplicación